15. Формула Гріна.
Формула Гріна встановлює зв'язок між подвійним інтегралом і криволінійним інтегралом 2 роду.
Розглянемо подвійний інтеграл Запишемо його вигляді повторного інтеграла, а саме, = (*). Кожен із отриманих інтегралів може бути замінений криволінійним інтегралом:
= Ці інтеграли дорівнюють нулю, оскільки відрізки PS, RQ є перпендикулярними до осі Ox. Тоді =+++=
Аналогічно отримаємо формулу (*)
Віднімаючи почленно від рівності (*) рівність(**) отримаємо
17. Поверхневий інтеграл I роду; Обчислити його.
Нехай проста поверхня, задана рівнянням = і на цій поверхні визначена неперервна функція F(x,y,z). Подвійний інтеграл наз. поверхневим інтегралом I роду від функції F(x,y,z) по поверхні і позначають . Отже за означенням . Використавши формулу dS= = отримаємо вираз для обчислення інтеграла І роду:
. Якщо поверхня задана явним рівнянням z=f(x,y), то формула набуде вигляду .
Приклад. Обчислити поверхневий інтеграл де -поверхня конуса z=x+y, 0≤z≤1,
18.Криволінійний інтеграл 2 роду; обчислення.
Якщо вздовж кривої (АВ) визначені функції P(x,y) і Q(x,y) і існують інтеграли і , то суму цих двох інтегралів називають загальним криволінійним інтегралом 2 роду і позначають так: . Аналогічно виводять поняття криволінійного інтеграла 2 роду по просторовій кривій (АВ). Нехай на кривій (АВ) задана функція f(x,y,z). Будуємо аналогічно міркуючи отримаємо.
Обчислення :
У випадку просторової кривої яка задана параметричними рівняннями x=, y= z= де , де ,- неперервно диференційовані функції на відрізку[], криволінійний інтеграла обчислюється за фоммулою dt
Випадок коли плоска крива АВ задана явним рівнянням y=, де = неперервнодиференційовна функція на проміжку [a,b]. Тоді взявши за параметр x=t формула криврл. Інтегралу набуде вигляду , якщо рівняння кривої задано x=, с то
19.Теорема про рівність нулеві криволінійного інтеграла 2 роду по простому замкненому контуру.
Теорема: Нехай в однозв’язній області G, функції P(x,y), Q(x,y) визначені і неперервні зі своїми похідними . Для того щоб виконувалася рівність (*) де L-простий заикнутий контур в області G виконувалася рівність (**).
Необхідність. Нехай виконується рівність (*) тоді за формулою Гріна (***)де DG.
Припустимо що рівність (*) виконується а умова (**) не виконкється хоч би в одній точці тобто в точці М(x,y)D. Нехай >0 в точці М. оскільки є неперервною функцією в області G,то це означає що вираз буде додатнім в деякому достатньому малому околі точки М. Тобі , що суперечить умові (***) . наше припущення не правильне. Отже
Достатність. Дано . Довести що Візьмемо довільний контур L, що обмежує область DG. За формулою Гріна 20.Звязок криволінійного інтегралу 2 роду з повним диференціалом функції(відновлення функції F(x,y)).
Для того щоб вираз Pdx + Qdy був повним диференціалом деякої функції F(x,y), необхідно і досить виконання рівності .
Дано: вираз Pdx+Qdy є поданим диференціалом функції F(x,y). Доведемо що оскільки повний диференціал функції F(x,y), то і оскільки - неперервні функції, то за теоремою пропро рівність мішаних похідних =, а це означає що .
21. Зведення потрійного інтегралу до повторного.
Обчислення потрійного інтеграла зводиться до обчислення повторного інтеграла як і у випадку з подвійними інтегралами.Нехій функція f(x,y,z) є неперервною в деякій замкненій області V. А це означає, що існує потрійний інтеграл від функції f(x,y,z) по області V. Розглянемо область у вигляді паралелепіпеда
П={(x,y,z):a}, який проектується на площину Ozy в прямокутник R={(y,z): }. Аналогічно,як і для подвійного інтеграла,доводять наступну теорему: Якщо для функції f(x,y,z)існує протрійний інтеграл і при кожному x існує подвійний інтеграл =, то існує повторний інтеграл і виконується рівність = .
Перейшовши в подвійному інтегралі до повторного отримаємо...
